微分形式

微分形式のメモ

1. 多様体

   多様体とは局所的に$\mathbb{R}^n$ (または$\mathbb{C}^n$)となる部分集合を縫い合わせたものである。 多様体上の関数$\mathcal{F}=\{f:M\mapsto \mathbb{R}\}$とすると、 多様体上の任意の点に対して、次の接ベクトル空間を取ることができる。 \[ V_p(=T_p M)=\{v^a : \mathcal{F} \mapsto \mathbb{R}\}, \]\[ v^a = v^i (\frac{\partial}{\partial x^i})^a. \] これはn次元のベクトル空間となる。 また、その双対ベクトル空間は \[ V^*_p(=T^*_p M)=\{v_a : \mathcal{F} \mapsto \mathbb{R}\}, \]\[ v_a = v_i (dx^i)_a, \] のように書ける。 双対性の定義より、これらの間の縮約を次のようにとることができる。 \[ (\frac{\partial}{\partial x^i})^a(dx^i)_a=(dx^i)_a(\frac{\partial}{\partial x^i})^a=\delta^a_a, \]\[ v^a u_a = v^i u_i. \]

2. 定義

   1. 微分形式

      多様体$M$上の接ベクトル空間$V_p$上で外積代数を与えることによってできる空間$\Lambda(=\Lambda V_p)$について考える。 $\Lambda$を全微分形式と呼ぶ。これは次のように直和分解できる。 \[ \Lambda=\Lambda^0 \oplus \Lambda^1 \oplus \cdots \Lambda^n. \] 外積代数の演算子として次のような規則を満たす線形演算子$\wedge$(Wedge積)を考える。 \[ \omega \wedge \mu = - \mu \wedge \omega,~~(\omega,\mu \in \Lambda^1) \]

      まず微分0形式$\Lambda^0 =\mathbb{R}$は基底$1$をもつ。 微分1形式は基底を$dx^i \in \Lambda^1$として \[ \omega=\omega_i dx^i \] とかける。よって$\Lambda^1= V^*_p$である。

      2形式は1形式の外積からなる空間である。 \[ \omega \wedge \mu = \omega_i \mu_j dx^i \wedge dx^j \] ただし、$dx^k \wedge dx^k=0$なので次元は \[ \dim \Lambda^2 V = \binom{n}{2}=\frac{n!}{2!(n-2)!} \] 例として三次元では \[ \begin{aligned} \omega\wedge\mu =&(\omega_1\mu_2-\omega_2\mu_1)dx^1\wedge dx^2\\ +&(\omega_2\mu_3-\omega_3\mu_2)dx^2\wedge dx^3\\ +&(\omega_3\mu_1-\omega_1\mu_3)dx^3\wedge dx^1 \end{aligned} \] となり三次元ベクトルの外積に一致する。

      同様に$p$形式は \[ \omega = \omega_{i_1 i_2 \cdots i_p} dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \cdots\wedge dx^{i_p} \] で与えられ次元は \[ \dim \Lambda^p = \binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!} \] となる。 よって最高次は$p=n$で$\omega \in \Lambda^n$とすると \[ \omega= \omega_{i_1\cdots i_n} dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_n} \] しかし独立な基底は$dx^1\wedge dx^2\wedge \cdots\wedge dx^n$ただ一つなので。 \[ \omega= \omega_{i_1\cdots i_n} \epsilon^{i_1\cdots i_n} dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n \] となる。 一般の$p$形式同士のWedge積については \[ \wedge : \Lambda^p \times \Lambda^q \mapsto \Lambda^{p+q} \]\[ \Lambda^p \wedge \Lambda^q = (-1)^{pq} \Lambda^q \wedge \Lambda^p \] となっている。

   2. 外微分

      外微分$d$は$p$形式に対して \[ d \omega = \pdv{\omega_{i_1 i_2 \cdots i_p}}{x^j} dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge \cdots\wedge dx^{i_p} \] と定義する。 $d: \Lambda^p V^*_p \mapsto \Lambda^{p+1} V^*_p$であるので$d\Lambda^n = 0$である(Poincareの補題)。 また、 \[ d \circ d \omega = \frac{\partial^2 \omega_{i_1 i_2 \cdots i_p}}{\partial x^j \partial x^k} dx^k\wedge dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge \cdots\wedge dx^{i_p}=0 \] より$d\circ d=0$が言える。

      3次元空間において外微分はベクトル解析の微分演算に対応している。 \[ \begin{matrix} \Lambda^0 & \xrightarrow{d} & \Lambda^1 & \xrightarrow{d} & \Lambda^2 & \xrightarrow{d} & \Lambda^0 \\ \mathbb{R} & \xrightarrow{\mathrm{grad}} & \mathbb{R}^3 & \xrightarrow{\mathrm{rot}} & \mathbb{R}^3 & \xrightarrow{\mathrm{div}} & \mathbb{R} \end{matrix} \]

   3. 座標変換

      $V_p$の座標変換$dx^i \mapsto dy^i$を考える。 まず1形式$\omega \in \Lambda^1\equiv V_p^*$は \[ \omega = \omega_i(x) dx^i \mapsto \omega_i(y) dy^i = \omega_i(y) \pdv{y^i}{x^j} dx^j \] と共変ベクトルの変換規則に従う。

      $p$形式$\omega \in \Lambda^p$では \[ \begin{aligned} \omega &= \omega_{i_1\cdots i_p}(x) dx^{i_1} \wedge \cdots \wedge dx^{i_p}\\ &\mapsto \omega_{i_1\cdots i_p}(y) dy^{i_1} \wedge \cdots \wedge dy^{i_p}\\ &= \omega_{i_1\cdots i_p}(y) \pdv{y^{i_1}}{x^{j_1}}\cdots \pdv{y^{i_p}}{x^{j_p}} dx^{j_1} \wedge \cdots \wedge dx^{j_p} \end{aligned} \]

      特に$n$形式についてその基底$\sigma=dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$の変換則を見ると \[ \begin{aligned} \sigma &= dx^1\wedge dx^2 \wedge\cdots\wedge dx^n\\ &\mapsto dy^1\wedge dy^2 \wedge\cdots\wedge dy^n\\ &= \pdv{y^1}{x^{j_1}}\cdots \pdv{y^n}{x^{j_n}} dx^{j_1} \wedge\cdots\wedge dx^{j_n}\\ &= \epsilon_{i_1 \cdots i_n} \pdv{y^{i_1}}{x^{j_1}}\cdots \pdv{y^{i_n}}{x^{j_n}} \epsilon^{j_1 \cdots j_n} dx^{1} \wedge\cdots\wedge dx^{n} = \left| \pdv{y^i}{x^j} \right| \sigma \end{aligned} \] となる。ここで$\epsilon^{i_1 \cdots i_n}$は完全反対称記号である。

   4. 内積

      まず1形式の基底について(非正定値)内積を次の計量で定義する。 \[ (dx^i,dx^j)=g^{ij} \] 内積は対称性、線形性、非退化性を満たす。 基底が正規直交なら$(e^i,e^j)=\pm\delta^{ij}$となる。 相対論のローレンツ多様体では$(dx^i,dx^j)=\eta^{ij}$が良く使われる。 よって1形式$\omega,\mu\in\Lambda^1$同士の内積は \[ (\omega,\mu)=\omega_i \mu_j (dx^i,dx^j)=\omega_i\mu_j g^{ij} \] となる。

      2形式基底の内積は \[ (dx^{i}\wedge dx^{j},dx^{k}\wedge dx^{l} )\equiv \begin{vmatrix} (dx^{i},dx^{k}) & (dx^{i},dx^{l})\\ (dx^{j},dx^{k}) & (dx^{j},dx^{l}) \end{vmatrix} \] と定義される。

      同様に$p$形式の基底の内積は \[ (dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_p},dx^{j_1}\wedge\cdots\wedge dx^{j_p}) = \begin{vmatrix} (dx^{i_1},dx^{j_1}) & (dx^{i_1},dx^{j_2}) & \cdots & (dx^{i_1},dx^{j_p})\\ (dx^{i_2},dx^{j_1}) & (dx^{i_2},dx^{j_2}) & & \\ (dx^{i_3},dx^{j_1}) & (dx^{i_3},dx^{j_2}) & &\vdots \\ \vdots & & \ddots \\ (dx^{i_p},dx^{j_1}) & \cdots & &(dx^{i_p},dx^{j_p}) \end{vmatrix} \]

      $n$形式の基底$\sigma=dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$の内積を考えると \[ (\sigma,\sigma) = \begin{vmatrix} (dx^{1},dx^{1}) & (dx^{1},dx^{2}) & \cdots & (dx^{1},dx^{n})\\ (dx^{2},dx^{1}) & (dx^{2},dx^{2}) & & \\ (dx^{3},dx^{1}) & (dx^{3},dx^{2}) & &\vdots \\ \vdots & & \ddots \\ (dx^{n},dx^{1}) & \cdots & &(dx^{n},dx^{n}) \end{vmatrix} =\frac{1}{|g|} \]

   5. Hodge作用素

      $p$形式の次元について $$ \dim \Lambda^p=\dim \Lambda^{n-p} $$ また、 $$ \wedge : \Lambda^p \times \Lambda^{n-p} \mapsto \Lambda^n \equiv \mathbb{R} $$ ここから$\Lambda^{n-p}$を$\Lambda^p$の双対空間と見ることができる。 Hodge作用素 $$ *: \Lambda^{p} \mapsto \Lambda^{n-p} $$ としてこれは次を満たす。$\omega,\mu \in \Lambda^{p}$として $$ \omega \wedge *\mu = (\omega,\mu) \sigma $$ $\sigma$はボリュームフォーム。

      $\omega=\mu=dx^1\wedge\cdots\wedge dx^p$とすると \[ \begin{aligned} dx^1\wedge\cdots\wedge dx^p \wedge *(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^p)\\ &=(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^p,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^p) dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n\\ &=|(dx^i,dx^j)|dx^1\wedge\cdots\wedge dx^p\wedge dx^{p+1}\wedge\cdots\wedge dx^{n} \end{aligned} \] ここから $$ *(dx^1\wedge\cdots\wedge dx^p) = |(dx^i,dx^j)|dx^{p+1}\wedge\cdots\wedge dx^{n} $$

   6. 積分

      $n$形式$\boldsymbol{\omega}=\omega \in \Lambda^n$の積分を次で定義する。 $$ \int_U \boldsymbol{\omega} = \int_{\psi(U)} \omega dx^1 dx^2\cdots dx^n $$ ここで$U$は多様体$M$の部分空間で$\psi$は$x$で書かれる局所座標である。 この積分は座標のとり方によらない。 別の座標$\psi'$で表すと $$ \int_U \boldsymbol{\omega} = \int_{\psi'(U)} \omega' dx'^1 dx'^2\cdots dx'^n $$ しかし変換則から $$ \omega'=\left|\pdv{(x^1,\cdots,x^n)}{(x'^1,\cdots,x'^n)}\right|\omega $$ なので $$ \int_{\psi'(U)} \omega' dx'^1\cdots dx'^n =\int_{\psi(U)} \omega' \left|\pdv{(x'^1,\cdots,x'^n)}{(x^1,\cdots,x^n)}\right| dx^1\cdots dx^n =\int_{\psi(U)} \omega dx^1\cdots dx^n $$ と示せる。

   7. 引き戻しと体積要素,ストークスの定理

      写像$\phi:M \mapsto N$を考える。 $N$上の関数 $$ f: N \mapsto \mathbb{R} $$ に対して$M$上への引き戻しは $$ \phi^* f = f \circ \phi : M \mapsto \mathbb{R} $$ と書ける。

      $f$を微分形式と対応付けると$\phi : T_p^* M \mapsto T_q^* N $として、 $\omega \in \Lambda^k T_q^* $に対して $$ \phi^* \omega = \omega \circ \phi $$ ここで外微分は引き戻しの下不変なので $$ d(\phi^* \omega)=\phi^*(d\omega) $$

      $n$次元多様体$M$とその境界である$n-1$次元の$\partial M$での微分形式$\omega$に対して次の(一般化)されたストークスの定理が成り立つ。 \[ \int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega \] なぜなら(おおざっぱには) $$ \int_M d\omega =\int_M \pdv{f}{x^{n}}dx^n\wedge dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{n-1} =\int_M \pdv{f}{x^{n}}dx^1\cdots dx^n =\int_{\partial M} f dx^1\cdots dx^{n-1} =\int_{\partial M} \omega $$ だからである。

      一般化されたストークスの定理は積分の基本定理やグリーンの公式、 ガウスの定理、ストークスの定理、コーシーの積分定理などを内包している。

3. 反対称テンソルとの対応

   \[ \begin{aligned} &\omega_{[a_1a_2\cdots a_p]}& &\rightleftarrows \boldsymbol{\omega}& &\in \Lambda^p\\ &\frac{p+q}{p!q!}\omega_{[a_1\cdots a_p}\mu_{b_1\cdots b_q]}& &\rightleftarrows \boldsymbol{\omega}\wedge \boldsymbol{\mu}& &\in \Lambda^{p+q}\\ &(p+1)\nabla_{[b}\omega_{a_1 \cdots a_p]}& &\rightleftarrows d\boldsymbol{\omega}& &\in \Lambda^{p+1}&\\ &\frac{1}{p!}\omega^{i_1 i_2 \cdots i_p} \epsilon_{i_1 i_2 \cdots i_p j_1 \cdots j_{n-p}}& &\rightleftarrows *\boldsymbol{\omega}& & \in \Lambda^{n-p} & \end{aligned} \]