場の理論と対称性
場の理論の連続対称性についてメモ。
古典場の理論の対称性
Peskin pp.17-19 場の対称性変換 \[ \phi(x)\rightarrow\phi(x)+\epsilon\Phi(x), \] この変換の元に作用が不変である時、 Lagrangianは全微分項の変換則を持っても良い。 \[ \mathcal{L}\rightarrow \mathcal{L}+\epsilon\partial_\mu X^\mu(x). \] さらにLagrangianを場の一階微分までを含むとして変化分を求めると \[ \begin{aligned} \delta\mathcal{L}(\phi(x),\partial\phi(x)) =& \pdv{\mathcal{L}}{\phi}\epsilon\Phi(x) +\pdv{\mathcal{L}}{(\partial_\mu\phi)} \partial_\mu(\epsilon\Phi(x))\\ =&\epsilon \left( \pdv{\mathcal{L}}{\phi}-\partial_\mu\pdv{\mathcal{L}}{(\partial_\mu\phi)} \right)\Phi(x) +\epsilon\partial_\mu\left( \pdv{\mathcal{L}}{(\partial_\mu\phi)}\Phi(x) \right) \end{aligned} \] 1項目は運動方程式よりゼロとなる。 ここから次のNoetherカレントに対するNoetherの定理が導かれる。 \[ \mathcal{J}^\mu(x)\equiv \pdv{\mathcal{L}}{(\partial_\mu\phi)}\Phi(x)-X^\mu(x), \]\[ \partial_\mu\mathcal{J}^\mu= \left( \pdv{\mathcal{L}}{\phi}-\partial_\mu\pdv{\mathcal{L}}{(\partial_\mu\phi)} \right)\Phi(x)=0. \] Noetherカレントの$\partial\mathcal{L}/\partial(\partial_\mu\phi)$は対称性を引き起こす場の作用への入り方を、 $\Phi(x)$は場の変換の仕方を、 $X^\mu(x)$は場以外の変換による寄与をそれぞれ反映している。
量子論と連続変換
sx $n$次元の実パラメータ空間$\omega^a$でラベル付けされた状態$\ket{\psi;\omega}$について、 $\omega\rightarrow\omega'$の発展を考える。 ノルムの確立解釈を保つためには発展を表す演算子はユニタリーでなければならない。 \[ \ket{\psi;\omega}\rightarrow \ket{\psi;\omega'}=U(\omega',\omega)\ket{\psi;\omega}, \]\[ \braket{\psi}{\psi} \rightarrow \bra{\psi}U^\dagger U\ket{\psi} =\braket{\psi}{\psi}. \] ここからHilbert空間の演算子の対する変換則が次のように決まる。 \[ \mathcal{O}\ket{\psi}\rightarrow U\mathcal{O}\ket{\psi}= U\mathcal{O}U^\dagger U\ket{\psi}, \]\[ \mathcal{O}(\omega)\rightarrow \mathcal{O}(\omega')=U(\omega',\omega)\mathcal{O}(\omega)U^\dagger(\omega',\omega). \] ユニタリ演算子を指数関数で表すと、その演算子基底$T^a$はエルミートでなければならない。 \[ U(\omega',\omega)=\exp(i(\omega'^a-\omega^a)T^a),~~~ (T^a)^\dagger=T^a, \]\[ \mathcal{O}(\omega')=e^{i(\omega'^a-\omega^a)T^a}\mathcal{O}(0)e^{-i(\omega'^a-\omega^a)T^a}. \] ここで$\omega=0, \omega'=\epsilon$で微小変換だと思うと \[ \begin{aligned} \mathcal{O}(\epsilon) =&(1+i\epsilon^a T^a)\mathcal{O}(0)(1-i\epsilon^a T^a)\\ =&1+i\epsilon^a T^a\mathcal{O}-i\epsilon^a\mathcal{O}T^a+\cdots\\ =&1+i\epsilon^a[T^a,\mathcal{O}(0)]. \end{aligned} \] また、オペレーターをパラメータで展開すれば次のように書ける \[ \mathcal{O}(\epsilon)=\mathcal{O}(0)+\epsilon^a\delta^a\mathcal{O}(0). \] ここから変換によるオペレーターの変化分は次のように表せる。 \[ \delta^a\mathcal{O}(0)=i[T^a,\mathcal{O}(0)]. \] 連続群の言葉で微小変換は次の生成子$\mathcal{T}$によって表される。 \[ \mathcal{O}(0)\rightarrow(1-i\epsilon^a\mathcal{T}^a)\mathcal{O}(0). \] よって次のようにも書ける。 \[ -\mathcal{T}^a\mathcal{O}(0)=[T^a,\mathcal{O}(0)]. \]
正準量子化と場の変換
Schwarz p.563 正準量子化の手法では場と正準運動量に対して正準交換関係を課すことによって第二量子化を行う。 \[ [\phi(x),\pi(x')]=i\delta(x-x'), \]\[ \pi(x)=\pdv{\mathcal{L}(x)}{(\partial_0 \phi(x))}. \] この時、Noetherチャージ$Q$は$X^\mu=0$として \[ Q=\int\dd^{d-1}x\mathcal{J}_0(x) =\int\dd^{d-1}x\pdv{L(x)}{(\partial_0 \phi(x))}\Phi(x) =\int\dd^{d-1}x\pi(x)\Phi(x). \] ここから次が得られる。 \[ [Q,\phi(x)]=\int\dd^{d-1}x'[\pi(x'),\phi(x)]\Phi(x') =-i\Phi(x), \]\[ \Phi(x)=i[Q,\phi(x)]. \] よって対称性変換のNoetherチャージは場に対する変換の生成子となっていると言える。
Schwinger-Dyson方程式
Peskin pp.306-310 経路積分の定式では次の分配関数から(時間順序積をとった)二点関数などの物理量の値を計算できる。 \[ Z[J]=\int\mathcal{D}\phi\exp i\left( S[\phi]+\int\dd^d x J(x)\phi(x) \right), \]\[ \begin{aligned} \expval{\phi(x)\phi(y)} =&\frac{ \int\mathcal{D}\phi e^{iS[\phi]}\phi(x)\phi(y) }{ \int\mathcal{D}\phi e^{iS[\phi]} }\\ =&\left.Z[J]^{-1} (-i)\frac{\delta}{\delta J(x)} (-i)\frac{\delta}{\delta J(y)}Z[J]\right|_{J=0}. \end{aligned} \] 今、理論が次の対称性を持つことを考える。 \[ \phi(x)\rightarrow\phi'(x)=\phi(x)+\epsilon\Phi(x), \]\[ S[\phi]=S[\phi']. \] 物理量期待値が不変となるには生成汎関数$Z[J]$が不変であれば良い。 経路積分の測度は不変,$\mathcal{D}\phi=\mathcal{D}\phi'$と仮定すれば \[ \begin{aligned} 0=\delta Z[J] =&\int\mathcal{D}\phi\delta e^{i\left(S[\phi]+\int\dd^d x J(x)\phi(x)\right)}\\ =&i\int\mathcal{D}\phi e^{i\left(S[\phi]+\int\dd^d x J(x)\phi(x)\right)} \int\dd^d x \left(\frac{\delta S[\phi]}{\delta\phi(x)}+J(x)\right)\epsilon\Phi(x), \end{aligned} \] 次の部分は運動方程式を意味している。 \[ \fdv{S[\phi]}{\phi(x)} = \pdv{\mathcal{L}}{\phi}-\partial_\mu\pdv{\mathcal{L}}{(\partial_\mu\phi)} \] 古典的にはこの項はゼロだが、経路積分によりoff-shell粒子も結果に寄与するので、その分を考慮するには安易にゼロにしてはいけない。 外場$J(x_1),J(x_2)$で汎関数微分して$J=0$にセットすると、 \[ 0=\int\mathcal{D}\phi e^{iS} \left( i\phi(x_1)\phi(x_2)\int\dd^d x\fdv{S[\phi]}{\phi(x)}\Phi(x) +\phi(x_1)\Phi(x_2)+\phi(x_2)\Phi(x_1) \right). \tag{1} \] 積分を揃えてくくると \[ 0=\int\mathcal{D}\phi e^{iS} \int\dd^d x \left( i\phi(x_1)\phi(x_2)\fdv{S[\phi]}{\phi(x)} +\phi(x_1)\delta(x-x_2)+\phi(x_2)\delta(x-x_1) \right)\Phi(x). \] よって次のSchwinger-Dyson方程式が成り立つ。 \[ \expval{\fdv{S[\phi]}{\phi(x)}\phi(x_1)\phi(x_2)} = i\expval{\phi(x_1)\delta(x-x_2)} +i\expval{\phi(x_2)\delta(x-x_1)}. \] これは$x\neq x_1,x_2$の場合には古典的運動方程式が成立するというEhrenfestの定理を表しており、 それ以外では接触項(contact term)の効果も含んだ方程式になっている。 同様に$n$点関数の場合に拡張できてその場合 \[ \expval{\fdv{S[\phi]}{\phi(x)}\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n)} = i\sum\expval{\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots \delta(x-x_i)\cdots\phi(x_n)}, \tag{2} \] となる。
カレント保存則
Noetherカレントは次で表された。 \[ \partial_\mu \mathcal{J}^\mu(x) =\fdv{S[\phi]}{\phi(x)}\Phi(x), \] これは古典的にはon-shellでゼロとなった。 ここではoff-shellも考慮して(1)式に代入すると次が得られる。 \[ \partial_\mu\expval{\mathcal{J}^\mu(x)\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n)} =i\sum\expval{\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots \Phi(x)\delta(x-x_i)\cdots\phi(x_n)}. \] これはカレント保存と近接項効果を表している。 また、特異点を含む領域$R$で積分することで場の変化分を得ることができる。 \[ \int_R\dd^d x \partial_\mu \expval{\mathcal{J}^\mu(x)\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n)} =i\sum_{x_i\in R}\expval{\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots \Phi(x_i)\cdots\phi(x_n)}. \] 発散定理を用いると、生の関係式として次が得られる。 \[ \int_{\partial R}\dd^{d-1}x' n_\mu\mathcal{J}^\mu(x')\phi(x)=i\Phi(x). \] 正準量子化の場合の式と比較すると、左辺はチャージとの交換関係に相当することが分かる。 \[ \int_{\partial R}\dd^{d-1}x' n_\mu\mathcal{J}^\mu(x')\phi(x) \leftrightarrow -[Q,\phi(x)]. \]