Conformal Field Theory 共形場理論

弦理論の初歩としての二次元CFTの基礎をまとめる。 主参考文献: Ginsparg.

目次
  1. 共形変換

    共形変換とは計量テンソルに対する次の変換を指す。 gμνgμν(x)=Ω(x)2gμν(x)=e2ω(x)gμν(x). g_{\mu\nu}\rightarrow g'_{\mu\nu}(x') =\Omega(x)^{-2}g_{\mu\nu}(x) =e^{2\omega(x)}g_{\mu\nu}(x). ここでΩ(x)\Omega(x)は任意の滑らかな関数。 Ω(x)=1\Omega(x)=1の周りで展開できる場合には最右辺のWeyl変換の形にも書くことができる。 共形変換では次で表されるベクトルu,vu,v間の角度が保存される。 cosθ=uvu2v2=gμνuμvνgμνuμuνgρλvρvλ. \cos\theta =\frac{u\cdot v}{\sqrt{u^2 v^2}} =\frac{g_{\mu\nu}u^\mu v^\nu}{\sqrt{g_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu} g_{\rho\lambda}v^{\rho}v^ {\lambda}}}.

    今、座標変換によって誘起される共形変換、共形座標変換を考える。 平坦な時空において座標の微小変換xμxμ=xμ+ϵμ(x)x^\mu\rightarrow x'\mu=x^\mu+\epsilon^\mu(x)を考えると、線素は次のように変換される。 ds2=ημνdxμdxνημν(dxμ+dϵμ)(dxν+dϵν)=ημν(dxμdxν+dϵμdxν+dϵνdxμ)=(ημν+μϵν+νϵμ)dxμdxνημνdxμdxν. \begin{aligned} \dd s^2=\eta_{\mu\nu}\dd x^\mu \dd x^\nu &\rightarrow \eta_{\mu\nu}(\dd x^\mu+\dd\epsilon^\mu)(\dd x^\nu+\dd\epsilon^\nu)\\ &=\eta_{\mu\nu}(\dd x^\mu \dd x^\nu + \dd\epsilon^\mu \dd x^\nu + \dd\epsilon^\nu \dd x^\mu )\\ &=(\eta_{\mu\nu}+\partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu)dx^{\mu}dx^{\nu} \equiv \eta'_{\mu\nu}\dd x^\mu\dd x^\nu. \end{aligned} これが共形変換ημνημν=Ω(x)ημν\eta_{\mu\nu}\rightarrow \eta'_{\mu\nu}=\Omega(x)\eta_{\mu\nu}となるには余分な項がημν\eta_{\mu\nu}に比例する必要がある。 比例係数はトレースから決定することができるので μϵν+νϵμ=2d(ϵ)ημν, \partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu= \frac{2}{d}(\partial\cdot \epsilon)\eta_{\mu\nu}, を得る。 この方程式にρν\partial_\rho \partial^\nuを縮約させると ρμ(ϵ)+ρ2ϵμ=2dρμ(ϵ)d2ρϵμ+(d2)ρμ(ϵ)=0. \begin{gathered} \partial_\rho \partial_\mu (\partial\cdot\epsilon) +\partial_\rho \partial^2 \epsilon_\mu =\frac{2}{d} \partial_\rho \partial_\mu (\partial\cdot\epsilon)\\ d\partial^2 \partial_\rho \epsilon_\mu +(d-2)\partial_\rho \partial_\mu (\partial\cdot\epsilon)=0. \end{gathered} 対称部分をとって d2(ρϵμ)+(d2)ρμ(ϵ)=0, d\partial^2 \partial_{(\rho} \epsilon_{\mu)} +(d-2)\partial_\rho \partial_\mu (\partial\cdot\epsilon)=0, 2(ϵ)ημν+(d2)ρμ(ϵ)=0. \partial^2 (\partial\cdot\epsilon)\eta_{\mu\nu} +(d-2)\partial_\rho \partial_\mu (\partial\cdot\epsilon)=0. 次のようにも書ける。 [ημν2+(d2)μν](ϵ)=0. [\eta_{\mu\nu}\partial^2+(d-2)\partial_\mu\partial_\nu](\partial\cdot\epsilon)=0. よって共形座標変換はこのKilling方程式を満たす微小座標変換 xμxμ+ϵμ(x)x^\mu\rightarrow x^\mu+\epsilon^\mu(x)によって表さられ、 計量は平坦な時空から次のように共形変換される。 ημν(1+2d(ϵ))ημν. \eta_{\mu\nu}\rightarrow (1+\frac{2}{d}(\partial\cdot\epsilon))\eta_{\mu\nu}. Weyl変換と対応させるとω(x)=(1/d)ϵ(x)\omega(x)=(1/d)\partial\cdot\epsilon(x)となる。 共形場理論で興味があるのはこうした変換であるため、共形座標変換のことを単に共形変換と呼ぶことが多い。

    d>2d>2においてKilling方程式から、全体として3階の微分項のみで消えなければならないので、解はせいぜい座標の二次までで構成される。 まとめて表すと ϵμ(x)=aμ+ωμνxν+λxμ+bμx22(bx)xμ. \epsilon^{\mu}(x)=a^\mu+{\omega^\mu}_\nu x^\nu+\lambda x^\mu+b^{\mu}x^2-2(b\cdot x)x^{\mu}. となる。各変換について表に記した。変換のパラメータは群の生成子にそれぞれ対応する。

    表: 共形変換を誘起する座標変換
    座標変換ϵμ(x)\epsilon^\mu(x)ω(x)\omega(x)
    並進aμa^{\mu}00
    ローレンツ変換ωμνxν{\omega^\mu}_\nu x^{\nu}00
    スケール変換λxμ\lambda x^\muλ\lambda
    特殊共形変換(SCT)bμx22(bx)xμb^{\mu}x^2-2(b\cdot x)x^{\mu}2(bx)-2(b\cdot x)

    微小変換を積分して有限の変換として表す。並進とローレンツ変換は合わせてポアンカレ変換に相当する。 xμ=Λμνxν+aμ. x'^\mu={\Lambda^\mu}_\nu x^\nu + a^\mu. また、スケール変換はx=λxx'=\lambda xとなる。 特殊共形変換は次の形となる。 xμ=xμ+bμx21+bx+b2x2. x'^\mu=\frac{x^\mu+b^\mu x^2}{1+b\cdot x+b^2x^2}. bbで微分すれば微小変換に帰着することを確かめられる。 SCTの変換式から次が得られる。 xμx2=xμx2+bμ. \frac{x'^\mu}{x'^2}=\frac{x^\mu}{x^2}+b^\mu. ここで新たな変換としてinversionが現れる。 これは次の座標変換で誘起される共形変換である。 xμ=xμx2,  Ω(x)=x2. x'^\mu=\frac{x^\mu}{x^2},~~\Omega(x)=x^2. この座標変換は恒等変換近傍で展開できないのでKilling方程式の解としては直接現れなかった。 しかしSCTの変換式を見ると、inversionしてからbμb^\mu並進しもう一度inversionするとbμb^\muのSCTと等しくなることが分かる。

  2. 複素座標による表現

    d=2d=2gμν=δμνg_{\mu\nu}=\delta_{\mu\nu}の Euclidean 計量を考えると、Killing方程式から 0ϵ1=1ϵ0,  0ϵ0=1ϵ1 \partial_0\epsilon_1=-\partial_1\epsilon_0,~~ \partial_0\epsilon_0=\partial_1\epsilon_1 が得られる。 これは座標z=x0+ix1z=x^0+ix^1に対するϵ=ϵ0+iϵ1\epsilon=\epsilon_0+i\epsilon_1についてのCauchy-Riemannの方程式となっており、 zzに対して座標変換zz=z+ϵ(z)z\rightarrow z'=z+\epsilon(z)が正則(holomorphic)であることを意味する。 (複素共役を取った組に対しても同様。) よってここでは座標を複素平面にとってd=2d=2のCFTを調べていく。 実座標との対応は z=x0+ix1,   zˉ=x0ix1, z=x^0+ix^1,~~~ \bar{z}=x^0-ix^1, z==(0i1)/2,   zˉ=ˉ=(0+i1)/2, \partial_z=\partial=(\partial_0-i\partial_1)/2,~~~ \partial_{\bar{z}}=\bar{\partial}=(\partial_0+i\partial_1)/2, x0=(z+zˉ)/2,   x1=i(zzˉ)/2, x^0=(z+\bar{z})/2,~~~ x^1=-i(z-\bar{z})/2, 0=+ˉ,   1=i(ˉ), \partial_0=\partial+\bar{\partial},~~~ \partial_1=-i(\partial-\bar{\partial}), ds2=(dx0)2+(dx1)2=12(dzdzˉ+dzˉdz), \dd s^2=(\dd x^0)^2+(\dd x^1)^2 =\frac{1}{2}(\dd z\dd\bar{z} +\dd\bar{z}\dd z), dx0dx1=detgdzdzˉ=dzdzˉ2, \dd x^0 \dd x^1=\sqrt{\det g}\dd z \dd\bar{z}=\frac{\dd z \dd\bar{z}}{2}, となる。 **デルタ関数や微分を自然にしようとすると計量はこうなる。 ベクトル、反変ベクトルの関係式は座標、微分の関係式と同様に書ける。 計量からベクトルの複素座標の足の上下についても次のように関係づく。 vz=gzμvμ=12vzˉ,   vzˉ=12vz. v_z=g_{z\mu}v^\mu=\frac{1}{2}v^{\bar{z}},~~~ v_{\bar{z}}=\frac{1}{2}v^z. zzの言葉で改めて書き直すと、共形変換とは zz=f(z),  zˉzˉ=fˉ(zˉ) z\rightarrow z'=f(z),~~\bar{z}\rightarrow \bar{z}'=\bar{f}(\bar{z}) の座標変換の下で ds2=dzdzˉΩ(z,zˉ)2dzdzˉ \dd s^2=\dd z\dd\bar{z}\rightarrow\Omega(z,\bar{z})^{-2}\dd z\dd\bar{z} と変換するものを指す。前述したように、d=2d=2の場合ffが正則関数でありさえすれば常にこれは成り立っている。

    大域的な共形変換を複素表示で表してみる。 並進 z=z+a,(aC)z'=z+a,(a\in\mathbb{C}), スケール z=λz,(λR)z'=\lambda z,(\lambda\in\mathbb{R}), 回転 z=eiθz,(θR)z'=e^{i\theta} z,(\theta\in\mathbb{R}), SCT ???,

    座標の微小変分ϵ(z)\epsilon(z)は正則であるので次のようにLorant展開することができる。 ϵ(z)=ϵnzn+1. \epsilon(z)=-\sum\epsilon_n z^{n+1}. この時、共形変換群の生成子lnl_nとすると、 z=eϵnlnz(1+ϵnln)z, z'=e^{\sum \epsilon_n l_n}z \approx (1+\sum \epsilon_n l_n)z, であるので lnzn+1z l_n\equiv-z^{n+1}\partial_z と表すことができる。 (zˉ\bar{z}についても同様にlˉn\bar{l}_nが与えられる。) ここから生成子の満たす代数は次のようになる。 [ln,lm]=(mn)lm+n,   [lˉn,lˉm]=(mn)lˉm+n,   [ln,lˉm]=0. [l_n,l_m]=(m-n)l_{m+n},~~~ [\bar{l}_n,\bar{l}_m]=(m-n)\bar{l}_{m+n},~~~ [l_n,\bar{l}_m]=0.

    代数の形から、n=1,0,+1n=-1,0,+1は次の部分代数を構成することが分かる。 [l+,l]=2l0,   [l0,l+]=l+,   [l0,l]=l, [l_+,l_-]=-2l_{0},~~~ [l_0,l_+]=l_+,~~~ [l_0,l_-]=-l_-, [l0,l0]=[l+,l+]=[l,l]=0. [l_0,l_0]=[l_+,l_+]=[l_-,l_-]=0. ここでl+l1,ll1l_+\equiv l_{1},l_-\equiv l_{-1}である。 この部分代数は特殊線形変換代数sl(2,R)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})に等しい。 共役と合わせるとsl(2,R)sl(2,R)=sl(2,C)\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})\oplus\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})の代数を構成する。 大域的共形変換群はSL(2,C)SL(2,\mathbb{C})で表されるため、これはこの部分群に対応している。 また、各変換の生成子は次のように対応することが分かる。\cite{ginsparg} (並進)l=z,(スケール変換)l0+lˉ0=zzˉˉ,(回転)i(l0lˉ0)=iz+izˉˉ,(SCT)l+=z2. \begin{aligned} &\text{(並進)}& l_-&=-\partial_z,\\ &\text{(スケール変換)}& l_0+\bar{l}_0&=-z\partial-\bar{z}\bar{\partial},\\ &\text{(回転)}& i(l_0-\bar{l}_0)&=-iz\partial+i\bar{z}\bar{\partial},\\ &\text{(SCT)}& l_{+}&=-z^2\partial. \end{aligned}

  3. CFTの古典的性質

    1. 共形場理論

      今、スカラー場ϕ\phiを含む理論を考える。 理論を共形変換の元に不変にできる時、これを共形場理論と呼ぶ。 この時、次のような変換性を持つ場をconformal dimentionがΔ\Deltaquasi-primary場と呼ぶ。 ϕ(x)xμxνΔ/dϕ(x). \phi(x)\rightarrow \left|\pdv{x'^\mu}{x^\nu}\right|^{\Delta/d}\phi(x'). x=x+ϵ(x)x'=x+\epsilon(x)の微小変換での変化分は ϕ(x)=δμν+νϵμΔ/d[ϕ(x)+ϵμμϕ(x)](1+Δdμϵμ)(1+ϵμμ)ϕ(x), \phi'(x') =\left|{\delta^\mu}_\nu+\partial_\nu\epsilon^\mu\right|^{\Delta/d}[\phi(x)+\epsilon^\mu\partial_\mu\phi(x)] \approx (1+\frac{\Delta}{d}\partial_\mu\epsilon^\mu) (1+\epsilon^\mu\partial_\mu)\phi(x), ここで1+M1+trM|1+M|\approx1+\mathrm{tr}Mを使った。よって δϵϕ(x)=(Δdμϵμ+ϵμμ)ϕ(x). \delta_\epsilon \phi(x) =\left( \frac{\Delta}{d}\partial_\mu\epsilon^\mu +\epsilon^\mu\partial_\mu \right)\phi(x). d=2d=2の複素座標では ϕ(z,zˉ)(zz)h(zˉzˉ)hˉϕ(z,zˉ). \phi(z,\bar{z}) \rightarrow \left(\pdv{z'}{z}\right)^h \left(\pdv{\bar{z}'}{\bar{z}}\right)^{\bar{h}} \phi(z',\bar{z}'). このような場をconformal weightが(h,hˉ)(h,\bar{h})のprimary場と呼ぶ。\cite{ginsparg}\cite{erdmenger} Δ=h+hˉ\Delta=h+\bar{h}であり、s=hhˉs=h-\bar{h}はスピンに対応する。 微小変換z=z+ϵz'=z+\epsilonを考えると δϵϕ(x)=(hϵ+ϵ+hˉˉϵˉ+ϵˉˉ)ϕ(z,zˉ), \delta_\epsilon \phi(x)= (h\partial\epsilon+\epsilon\partial +\bar{h}\bar{\partial}\bar{\epsilon}+\bar{\epsilon}\bar{\partial} )\phi(z,\bar{z}), となる。

    2. ストレステンソルのトレースレス性

      スカラー場とLagrangianはどちらもスカラーなので共形変換に対して次の変換則を持つ。 ϕ(x)ϕ(x)=ϕ(x)+ϵμ(x)μϕ(x), \phi(x)\rightarrow \phi(x')=\phi(x)+\epsilon^\mu(x)\partial_\mu\phi(x), L(x)L(x)=L(x)+ϵμ(x)μL(x). \mathcal{L}(x)\rightarrow \mathcal{L}(x')=\mathcal{L}(x)+\epsilon^\mu(x)\partial_\mu\mathcal{L}(x). よって共形変換のNoetherカレントは次で表される。 jϵμ=ϵν(x)(L(μϕ)νϕ(x)δμνL(x))=Tμν(x)ϵν(x). j^\mu_\epsilon =\epsilon^\nu(x)\left( \pdv{\mathcal{L}}{(\partial_\mu\phi)}\partial_\nu\phi(x) -{\delta^\mu}_\nu\mathcal{L}(x) \right) ={T^\mu}_\nu(x)\epsilon^\nu(x). ここでTμνT^{\mu\nu}はストレステンソルであり、これは並進対称性から得られるNoetherカレントである。 ここでϵμ(x)\epsilon^\mu(x)は共形座標変換のKilling方程式を満たす関数である。 すると、次が成り立つ 0=μjϵμ=μ(Tμνϵν)=Tμνμϵν=12Tμν(μϵν+νϵμ)=d2Tμν(ϵ)δμν=d2(ϵ)Tμμ, \begin{aligned} 0=\partial_\mu j_\epsilon^\mu =&\partial_\mu(T^{\mu\nu}\epsilon_\nu) =T^{\mu\nu}\partial_\mu\epsilon_\nu\\ =&\frac{1}{2}T^{\mu\nu}(\partial_\mu\epsilon_\nu+\partial_\nu\epsilon_\mu) =\frac{d}{2}T^{\mu\nu}(\partial\cdot\epsilon)\delta_{\mu\nu} =\frac{d}{2}(\partial\cdot\epsilon){T^\mu}_\mu, \end{aligned} ここでストレステンソルの保存則と対称性、Killing方程式を使った。 よって共形対称性を持った理論ではストレステンソルはトレースレスとなることが分かる。

      トレースレス性を複素座標で表すと次のようになる 0=gμνTμν=gzˉzTzˉz+gzzˉTzzˉ=2(Tzˉz+Tzzˉ). 0=g^{\mu\nu}T_{\mu\nu} =g^{\bar{z}z}T_{\bar{z}z}+g^{z\bar{z}}T_{z\bar{z}} =2(T_{\bar{z}z}+T_{z\bar{z}}). よって、対称性からTzˉz=Tzzˉ=0T_{\bar{z}z}=-T_{z\bar{z}}=0が分かる。 また、保存則から 0=μTμνdxν=2(ˉTzzdz+Tzˉzˉdzˉ), 0=\partial_\mu {T^\mu}_\nu dx^\nu =2(\bar{\partial}T_{zz}\dd z +\partial T_{\bar{z}\bar{z}}\dd \bar{z}),

      が得られる。よって ˉTzz=Tzˉzˉ=0 \bar{\partial}T_{zz}=\partial T_{\bar{z}\bar{z}}=0 よりTzzT_{zz}は正則、TzˉzˉT_{\bar{z}\bar{z}}は反正則となる。 ここから次のように表す。 Tzz=T(z),   Tzˉzˉ=Tˉ(zˉ). T_{zz}=T(z),~~~T_{\bar{z}\bar{z}}=\bar{T}(\bar{z}). 共形不変性の保存カレントをこれで表すと次にように書ける。 jzϵ=Tzzϵz=T(z)ϵ(z),   jzˉϵ=Tzˉzˉϵzˉ=Tˉ(zˉ)ϵˉ(zˉ). j^\epsilon_z=T_{zz}\epsilon^{z}=T(z)\epsilon(z) ,~~~ j^\epsilon_{\bar{z}}= T_{\bar{z}\bar{z}}\epsilon^{\bar{z}}=\bar{T}(\bar{z})\bar{\epsilon}(\bar{z}).
  4. 量子共形場理論

    量子場の微小変換は、変換の保存チャージ演算子との同時刻交換子によって生成される。 δϵϕ(x)=[Qϵ,ϕ(x)]s.t.. \delta_\epsilon\phi(x)=[Q_\epsilon,\phi(x)]_{\text{s.t.}}. これは正準交換関係から導かれる。 (関連:対称性) 今、時空が Euclidean であるために虚数が取り除かれている。 共形対称性の保存チャージは保存カレントの時間成分の空間積分によって得られる。 ここで複素座標での空間方向は円周方向に対応するので Qϵ=dx1j0ϵ(x)=12πi(dzT(z)ϵ(z)+dzˉTˉ(zˉ)ϵˉ(zˉ)), Q_\epsilon=\int_{-\infty}^{\infty}\dd x^1 j^\epsilon_0(x) =\frac{1}{2\pi i}\oint\left( \dd z T(z)\epsilon(z)+ \dd\bar{z}\bar{T}(\bar{z})\bar{\epsilon}(\bar{z}) \right), となる。 よって δϵϕ(z,zˉ)=12πi(dz[T(z)ϵ(z),ϕ(z,zˉ)]+dzˉ[Tˉ(zˉ)ϵˉ(zˉ),ϕ(z,zˉ)]), \delta_\epsilon\phi(z',\bar{z}')= \frac{1}{2\pi i}\oint\left( \dd z [T(z)\epsilon(z),\phi(z',\bar{z}')]+ \dd\bar{z} [\bar{T}(\bar{z})\bar{\epsilon}(\bar{z}), \phi(z',\bar{z}')] \right), ここで同時刻交換子のみを考えるため、時間順序積をとったもののみが残る。 複素座標ではz|z|が時間方向なので、これをRR積で表すと積分は次のようになる。 **Ginsparg, p.20; dz[A(z),B(w)]s.t.=z=wdz(A(z)B(w)B(w)A(z))=z=wδdzRA(z)B(w)z=w+δdzRA(z)B(w)=wdzRA(z)B(w). \begin{aligned} \oint\dd z[A(z),B(w)]_\text{s.t.} =&\underset{|z|=|w|}{\oint}\dd z(A(z)B(w)-B(w)A(z))\\ =&\underset{|z|=|w|-\delta}{\oint}\dd z RA(z)B(w) -\underset{|z|=|w|+\delta}{\oint}\dd z RA(z)B(w)\\ =&\oint_w\dd z RA(z)B(w). \end{aligned} よって積分はwwでの極を拾ってくる。 今後はRRを書かずに暗にこの順序積を取っていることにする。 primary場の変化分と結びつけると、正則部分は (hϵ(z)+ϵ(z))ϕ(z,zˉ)=12πizdwϵ(w)T(w)ϕ(z,zˉ), (h\partial\epsilon(z)+\epsilon(z)\partial)\phi(z,\bar{z}) = \frac{1}{2\pi i}\oint_z \dd w \epsilon(w)T(w)\phi(z,\bar{z}), ここで、留数定理 f(z)=12πizdwf(w)wz, f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_z\dd w\frac{f(w)}{w-z}, f(z)=12πizdwf(w)(wz)2, \partial f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_z\dd w\frac{f(w)}{(w-z)^2}, ここから積分が次のように書ける。 (hϵ(z)+ϵ(z))ϕ(z,zˉ)=12πizdwϵ(w)(hϕ(z,zˉ)(wz)2+ϕ(z,zˉ)wz+ ). (h\partial\epsilon(z)+\epsilon(z)\partial)\phi(z,\bar{z}) = \frac{1}{2\pi i}\oint_z\dd w\epsilon(w) \left( \frac{h\phi(z,\bar{z})}{(w-z)^2}+ \frac{\partial\phi(z,\bar{z})}{w-z}+\cdots \right). よってTϕT\phi演算子積展開(operator product expansion; OPE)が次のように決まる。 T(z)ϕ(w,wˉ)=h(zw)2ϕ(w,wˉ)+1zwϕ(w,wˉ)+ , T(z)\phi(w,\bar{w})= \frac{h}{(z-w)^2}\phi(w,\bar{w})+ \frac{1}{z-w}\partial\phi(w,\bar{w})+\cdots, 非正則部分も同様。 ここで最低次係数にはprimary場のweight (h,hˉ)(h,\bar{h})が来る。 一般にストレステンソルとのOPEから共形weightが読み取れる。

    ストレステンソルTT自身とのOPEは一般に次の形となることが後に分かる。 T(z)T(w)=c/2(zw)4+2(zw)2T(w)+1zwT(w)+ . T(z)T(w)= \frac{c/2}{(z-w)^4}+\frac{2}{(z-w)^2}T(w)+ \frac{1}{z-w}\partial T(w)+\cdots. ストレステンソルは古典的にはh=2h=2の変換性を持つはずだが、 量子効果により-4次の項が出て変換性のズレが現れている。 この時のcccentral chargeと呼ぶ。

  5. masslessスカラーの例

    masslessスカラーの理論を考える。 S=12πd2x(0X0X+1X1X)=1πd2zXˉX. S=\frac{1}{2\pi}\int d^2x (\partial_0 X \partial_0 X+\partial_1 X \partial_1 X) =\frac{1}{\pi}\int d^2z \partial X\bar{\partial}X. ここから運動方程式は ˉX=0, \partial\bar{\partial}X=0, よって場を微分した X(z),ˉX(zˉ)\partial X(z),\bar{\partial} X(\bar{z}) が正則(反正則)であることが分かる。

    次に、経路積分量子化から場の二点関数の接触項の値を得る。 経路積分の処方によると、 Euclidean 時空で場の演算子期待値は次で与えられる。 <O>=DXexp(S[X])O. \expval{\mathcal{O}}=\int\mathcal{D}X\exp(-S[X])\mathcal{O}. 経路積分における境界項が消えることから、次のように二点関数を計算することができる。 0=DXδδX(z,zˉ)exp(S[X])X(w,wˉ)=DXexp(S[X])(δ2(zw)+1πˉX(z)X(w))=δ2(zw)+1πˉ<X(z)X(w)>. \begin{aligned} 0=&\int\mathcal{D}X\frac{\delta}{\delta X(z,\bar{z})}\exp(-S[X])X(w,\bar{w})\\ =&\int\mathcal{D}X\exp(-S[X]) \left(\delta^2(z-w)+\frac{1}{\pi}\partial\bar{\partial}X(z)X(w)\right)\\ =&\delta^2(z-w)+\frac{1}{\pi}\partial\bar{\partial}\expval{X(z)X(w)}. \end{aligned} 1πˉ<X(z)X(w)>=δ2(zw). \frac{1}{\pi}\partial\bar{\partial}\expval{X(z)X(w)}=-\delta^2(z-w). ここで次の微分方程式を思い出す ˉlnz2=2πδ2(z), \partial\bar{\partial}\ln|z|^2=2\pi\delta^2(z), これは二次元のPoisson方程式とその解である。 なぜなら、z0z\neq 0の時はˉlnz2=ˉ(lnz+lnzˉ)=0\partial\bar{\partial}\ln|z|^2=\partial\bar{\partial}(\ln z+\ln\bar{z})=0から満たしており、 またデルタ関数の係数については、原点から半径RRの領域で積分して d2zˉlnz2=2Rd2x24lnx2=Rdsnlnr=2πRR=2π \int \dd^2z \partial\bar{\partial}\ln|z|^2 = 2\int_R \dd^2x \frac{\nabla^2}{4} \ln|x|^2 = \oint_{\partial R} \dd s \vec{n}\cdot\nabla\ln r =\frac{2\pi R}{R}=2\pi と決まる。 これを用いると、 1πˉ<X(z)X(w)>=12πˉlnzw2. \frac{1}{\pi}\partial\bar{\partial}\expval{X(z)X(w)} =-\frac{1}{2\pi}\partial\bar{\partial}\ln|z-w|^2. よってこの関係式を積分することにより、二点関数の接触項は次のように書ける。 <X(z,zˉ)X(w,wˉ)>12lnzw2=12(ln(zw)+ln(zˉwˉ)) \expval{X(z,\bar{z})X(w,\bar{w})}\sim -\frac{1}{2}\ln|z-w|^2 =-\frac{1}{2}\left( \ln(z-w)+\ln(\bar{z}-\bar{w}) \right) 運動方程式から、場は正則部分と反正則部分に分けて書くことできるので、 場と二点関数について次のように表せる。 X(z,zˉ)=12(x(z)+xˉ(zˉ)), X(z,\bar{z})=\frac{1}{2}(x(z)+\bar{x}(\bar{z})), <x(z)x(w)>ln(zw),   <xˉ(zˉ)xˉ(wˉ)>ln(zˉwˉ). \expval{x(z)x(w)}\sim-\ln(z-w),~~~ \expval{\bar{x}(\bar{z})\bar{x}(\bar{w})}\sim-\ln(\bar{z}-\bar{w}). これらの場はlog発散を持ち、primary場では無い。 一方z,wz,wでそれぞれ微分してやると (5.1)<x(z)x(w)>1(zw)2 \expval{\partial x(z)\partial x(w)}\sim-\frac{1}{(z-w)^2} \tag{5.1} となりこれはprimary場である。\cite{ginsparg}

    ここで、ストレステンソルを計算すると Tμν=L(μX)νXδμνL, {T^\mu}_\nu=\pdv{\mathcal{L}}{(\partial_\mu X)}\partial_\nu X-{\delta^\mu}_\nu\mathcal{L}, Tzz=Tzˉzˉ=0,   Tzzˉ=1πˉXˉX,   Tzˉz=1πXX, {T^z}_z={T^{\bar{z}}}_{\bar{z}}=0,~~~ {T^z}_{\bar{z}}=-\frac{1}{\pi}\bar{\partial}X\bar{\partial}X,~~~ {T^{\bar{z}}}_z=-\frac{1}{\pi}\partial X\partial X, Tzz=Tzˉzˉ=12π(XX+ˉXˉX), T_{zz}=T_{\bar{z}\bar{z}} =-\frac{1}{2\pi}(\partial X\partial X+\bar{\partial}X\bar{\partial}X), 正則部分と分ければ Tzz(z,zˉ)=14π(x(z)x(z)+ˉxˉ(zˉ)ˉxˉ(zˉ)), T_{zz}(z,\bar{z})= \frac{1}{4\pi}(\partial x(z)\partial x(z) +\bar{\partial}\bar{x}(\bar{z})\bar{\partial}\bar{x}(\bar{z})), T(z)12x(z)x(z), T(z)\equiv-\frac{1}{2}\partial x(z)\partial x(z), と書くことにする。 * *Ginsparg, p.22, (2.17); Polchinski, p.43, (2.3.15); 符号や係数にいまいち納得いかない部分がある。 しかしながら、二点関数の接触項(5.1)式から、この値は発散してしまう。 これをうまく取り扱うために次の正規順序積(normal-order)を用いる。 これは演算子積の接触項は全て二点関数の発散からくるとして、その分の寄与を取り除く処方である。 :A1A2An:=A1A2An(all contraction), \nord{A_1A_2\cdots A_n} =A_1A_2\cdots A_n-\text{(all contraction)}, ここでcontractionとは、次のようなものとなる。 A1A2A3A4<A1A3>A2A4, A_1^\bullet A_2 A_3^\bullet A_4\sim\expval{A_1A_3}A_2A_4, A1A2A3A4<A1A4><A2A3>, A_1^\bullet A_2^\circ A_3^\circ A_4^\bullet\sim \expval{A_1 A_4}\expval{A_2 A_3}, 上付きの記号で二つの演算子を繋いだ部分がcontractionであり、 その部分は二点関数期待値の発散部分に置き換わる。(c数になる。) 場の理論での生成消滅演算子に対する正規順序積も、演算子積の発散を取り除く意味では同じ振る舞いとなっている。 N[apaq]=N[aqap+δ(pq)]=aqap. N[a_pa^\dagger_q]=N[a^\dagger_qa_p+\delta(p-q)]=a^\dagger_qa_p. これを用いてストレステンソルを定義することにする。 T(z)12:x(z)x(z):=12limzw[x(z)x(w)x(z)x(w)]=12limzw[x(z)x(w)+1(zw)2]. \begin{aligned} T(z)\equiv -\frac{1}{2}\nord{\partial x(z)\partial x(z)} =&-\frac{1}{2}\lim_{z\rightarrow w} \left[ \partial x(z)\partial x(w)-\partial x^\bullet(z)\partial x^\bullet(w) \right]\\ =&-\frac{1}{2}\lim_{z\rightarrow w} \left[ \partial x(z)\partial x(w)+\frac{1}{(z-w)^2} \right]. \end{aligned}

    ストレステンソルを定義できたので、まずTxT\partial xのOPEを行う。 全体がnormal-orderされた項は接触項を含まないので、 結局、可能な全てのcontractionをとったものが接触項の寄与となる。 T(z)x(w)=12:x(z)x(z):x(w)=12[x(z)x(z)x(w)+x(z)x(z)x(w)+ ]=<x(z)x(w)>x(z)+=1(zw)2x(z)+ , \newcommand{\px}{\partial x} \begin{aligned} T(z)\px(w)=& -\frac{1}{2}\nord{\px(z)\px(z)}\px(w)\\ =&-\frac{1}{2}\left[ \px^\bullet(z)\px(z)\px^\bullet(w)+ \px(z)\px^\bullet(z)\px^\bullet(w)+\cdots \right]\\ =&-\expval{\px^\bullet(z)\px(w)}\px(z)+\cdots =\frac{1}{(z-w)^2}\px(z)+\cdots, \end{aligned} ここでx(z)\partial x(z)同士のcontractionはTTの時点でnormal-orderをとっているので考えない。 x(z)\partial x(z)wwの周りで展開すれば T(z)x(w)=1(zw)2x(w)+1zw2x(w)+ , T(z)\partial x(w)= \frac{1}{(z-w)^2}\partial x(w)+\frac{1}{z-w}\partial^2 x(w)+\cdots, ここから、x\partial xは共形weight(1,0)(1,0)のprimary場であることが分かる。

    同様にTTTTのOPEを行うと T(z)T(w)=14:x(z)x(z)::x(w)x(w):=14[x(z)x(z)x(w)x(w)+x(z)x(z)x(w)x(w)+x(z)x(z)x(w)x(w)+(3 permutations)+]=14[2<x(z)x(w)><x(z)x(w)>+4<x(z)x(w)>x(z)x(w)+ ]=1/2(zw)41(zw)2x(z)x(w)+ , \newcommand{\px}{\partial x} \begin{aligned} T(z)T(w)=&\frac{1}{4}\nord{\px(z)\px(z)}\nord{\px(w)\px(w)}\\ =&\frac{1}{4}\big[ \px^\bullet(z)\px^\circ(z)\px^\bullet(w)\px^\circ(w)+ \px^\bullet(z)\px^\circ(z)\px^\circ(w)\px^\bullet(w)+\\ &\px^\bullet(z)\px(z)\px^\bullet(w)\px(w)+ \text{(3 permutations)}+\cdots \big]\\ =&\frac{1}{4}\left[ 2\expval{\px(z)\px(w)}\expval{\px(z)\px(w)} +4\expval{\px(z)\px(w)}\px(z)\px(w)+\cdots \right]\\ =&\frac{1/2}{(z-w)^4}-\frac{1}{(z-w)^2}\px(z)\px(w)+\cdots, \end{aligned} x(z)\partial x(z)wwの周りで展開して T(z)T(w)=1/2(zw)41(zw)2x(w)x(w)1zw2x(w)x(w)+ , T(z)T(w)= \frac{1/2}{(z-w)^4}- \frac{1}{(z-w)^2}\partial x(w)\partial x(w)- \frac{1}{z-w}\partial^2 x(w)\partial x(w)+\cdots, T(w)=:2x(z)(z):\partial T(w)=-\nord{\partial^2 x(z)\partial(z)}なので T(z)T(w)=1/2(zw)4+2(zw)2T(w)+1zwT(w)+ , T(z)T(w)= \frac{1/2}{(z-w)^4}+ \frac{2}{(z-w)^2}T(w)+ \frac{1}{z-w}\partial T(w)+\cdots, よって-4次の接触項をもつためTTはprimary場ではなく、 今の場合central chargeはc=1c=1となっている。


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